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N° 18
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Billet
Les mathématiques, inutiles au mouillage, dangereuses à la mer?
par Jean-Paul Baquiast et Christophe Jacquemin
Suivi d'une note scientifique
Un positionnement différent pour les mathématiques
de Alain Cardon

Le navire de la science pourra-t-il désormais voguer en se passant des services des mathématiques, dont on dira, comme on le dit dans la marine d'un matelot peu efficace, qu'elles sont inutiles au mouillage et dangereuses à la mer ?

Une des illustrations présentées dans le livre de Stephan Wolfram (parution prévue pour janvier 2002)  © Stephen Wolfram, LLCC'est en tous cas ce que l'on pourrait se demander en lisant les commentaires qui préparent la sortie du livre de Stephan Wolfram, présenté comme révolutionnaire : A new Kind of Science (voir notre article dans le même numéro).

Eliminons l'hypothèse selon laquelle nous serions en présence d'une forme particulièrement habile de promotion d'un livre faussement sensationnel. Le background de l'auteur, le succès de son produit-phare Mathematica nous interdisent de recourir à cette explication rassurante.

Ceux qui ont suivi la naissance de notre magazine savent que, dès le début, nous avons fait valoir la puissance heuristique des automates auto-adaptatifs, loin des sentiers désuets de la vieille intelligence artificielle. De même, la complicité intellectuelle qui nous rapproche d'un scientifique comme Alain Cardon, défenseur (un peu seul contre tous en France) de ces mêmes automates auto-adaptatifs pour la génération d'une conscience artificielle, nous rendent au contraire particulièrement réceptifs à ce qui nous paraît être le caractère véritablement révolutionnaire des propositions de Stephan Wolfram.

Nous serions même tentés d'en rajouter, en voyant en ce dernier (hypothèse qui n'a rien d'absurde compte-tenu de son passé d'enfant prodige), un mutant généré par la complexité du monde actuelle en marche vers une méta-transition.

Revenons cependant sur le rôle des mathématiques dans les sciences. Quelle bonne nouvelle se serait d'apprendre que les candidats à la compréhension des grands problèmes scientifiques, comme les candidats aux grandes découvertes de demain, pourraient désormais prendre quelques distances avec elles.

Attendons la sortie de "A new Kind of Science" pour en juger, sortie prévue pour le début de l'année 2002. Raisonnons cependant deux minutes et en toute modestie de non-mathématicien.

Supposons que nous nous trouvions en présence de deux objets complexes de la nature, une termitière et la conscience de notre ami Dupont, supportée par sa cervelle elle-même en relation avec le milieu intellectuel très riche que nous lui connaissons. Que pourrions-nous souhaiter faire de ces deux objets, et en quoi les mathématiques pourraient-elles nous être utiles à de telles fins ?

Notre premier souci, celui de tous les hommes depuis la nuit des temps, sera sans doute de comprendre comment les objets en question ont été produits par la nature. Dans le cas de la termitière comme dans celui de la conscience, les mathématiques les plus pointues ne nous seront guère utiles. Comme on le sait, la logique d'élaboration de la termitière n'est apparue que très récemment, suite précisément aux travaux sur la vie artificielle, les automates cellulaires en particulier. Il n'y a rien là de vraiment mathématique et, comme l'indique Stephen Wolfram dans une interview, les hommes du Moyen-Age auraient pu le découvrir, s'ils n'avaient pas été égarés sur de fausses voies par les géomètres et autres algébristes de l'antiquité grecque. Les mêmes méthodes commencent à nous aider à comprendre comment la conscience de notre ami Dupont a été élaborée, tant au plan phylogénétique qu'embryogénique et culturel.

Un second souci, également propre à l'homme depuis la nuit des temps, sera de faire des reproductions de ces deux objets, afin de nous en servir pour améliorer notre vie courante (à supposer qu'habiter dans une termitière nous intéresse…). On n'étonnera personne en disant qu'établir pour cela le modèle mathématique précis d'une termitière donnée, sauf à le simplifier outrageusement, découragerait des cohortes de mathématiciens. Ceci plus encore si nous voulions en réaliser un modèle dynamique et non un modèle statique. A plus forte raison sera-t-il de même d'une modélisation mathématique de la conscience.

Nous avons en fait, hors le recours aux mathématiques, trois méthodes pour nous donner des clones de la termitière comme de la conscience.
La première serait de mettre des termites au travail et attendre quelques années. Pour la conscience, il faudrait sans doute attendre, en mettant quelques cellules-souches au travail, quelques millions d'années.

La deuxième méthode sera de construire des modèles analogiques de nos deux objets, que nous appréhenderons avec des plans, des coupes, des photographies, voire un peu de mathématiques, mais de mathématiques relativement simples, celles des occurrences statistiques. Pour la termitière, nous obtiendrons un résultat valable en quelques jours, parce que la compréhension de ses structures et de ses fonctionnalités n'excède pas notre entendement de sens commun. Pour la conscience, nous risquons de nous lancer des années entières dans des supputations sans issues, faute d'avoir la moindre idée de "comment ça marche". Inutile donc d'essayer de faire de l'ingénierie inverse.

La troisième méthode, que nous pouvons considérer à ce jour comme la seule bonne, sera de faire travailler des systèmes auto-adaptatifs, certes avec de l'informatique et des équations, mais sans nous décourager à l'avance par des considérations sur l'auto-référentialité, l'indécidabilité ou Dieu sait quoi que pourraient nous opposer nos amis mathématiciens. Obtiendra-t-on une termitière et une conscience virtuelles ressemblant aux modèles réels, ou autre chose de tout à fait différent, et certainement tout aussi intéressant, ou les deux ? On le verra en cours de route. Mais rien n'empêche de commencer.

C'est dans cette perspective que nous écrivions récemment que l'évolution artificielle permise par l'informatique évolutionnaire a toutes les chances d'accélérer avec de grands bénéfices l'évolution naturelle, au service de grands projets de long terme comme l'expansion de l'homme et de ses robots dans le cosmos http://www.automatesintelligents.com/edito/2001/aou/edito1.html.

Que penser dans ces conditions des mathématiques ? Nous pourrions dire, en forme de plaisanterie un peu osée sans doute, qu'il s'agit d'excroissances de l'esprit humain plutôt gênantes pour s'adapter au monde, un peu comme l'étaient les cornes du mégacéros. Sans elles, nous aurions peut-être déjà dépassé les limites du système solaire - de même que sans ses cornes, le mégacéros hanterait-il encore les steppes nordiques. Les mathématiciens nous répondront que sans les mathématiques, l'homme n'aurait pas découvert les automates cellulaires. C'est à discuter. On lira sur ce point très crucial des relations entre les mathématiques et l'informatique le texte d'Alain Cardon (voir encadré ci-dessous).

En attendant de trancher ce débat, on peut s'accorder sur le fait que les mathématiques permettent un grand nombre de jeux d'esprits fort attirants pour certaines personnes douées.

Voici en tous cas des sujets dont nous vous reparlerons.

Un positionnement différent pour les mathématiques
par Alain Cardon

Le travail de Stephan Wolfram, auquel est fait allusion ici, me paraît proposer, non un abandon des maths, mais un positionnement différent pour celles-ci. Et c'est bien là qu'apparaît un problème de pouvoir formidable.

Jusqu'à maintenant, toute démarche scientifique se fondait sur le principe opératoire suivant :

1- Développement d'un modèle formel du phénomène, basé sur les mathématiques (discrètes c'est-à-dire basé sur la logique, ou bien continues avec des équations dans des espaces continus comme R),

2- Validation de ce modèle (par calcul sur machine ou par vérification formelle).

Dans cette approche (qui est celle de René Thom), les mathématiques ont un statut très particulier et toutes les autres sciences s'ordonnent sous sa coupe. L'informatique est une technologie secondaire permettant de valider ou de visualiser ce que les équations proposent (en numérisant la résolution des équations: l'informatique équivaut à un calcul numérique explicite).

Cela a marché très longtemps (calcul fait à la main autrefois, puis avec les calculateurs numériques, en Fortran ou en C aujourd'hui), car les problèmes abordés n'étaient que compliqués. Avec l'apparition des problèmes complexes (ouverts au sens de von Bertalanffy, non décomposables en parties indépendantes et typiquement basés sur les interactions variables entre les entités de base elles-mêmes changeantes), cette approche s'est révélée définitivement inopérante. Il a fallu réduire les problèmes, les simplifier, parfois outrageusement, ou rechercher des bons cas exceptionnels que les équations traitaient bien.

On retrouve le vieux problème philosophique concernant la façon de représenter et de décrire la réalité du monde. Pour Aristote et Kant, les mathématiques sont le SEUL outil conceptuel le permettant et la science a un pouvoir prédictif infini. On enseigne aujourd'hui, et même on vénère, ces deux philosophes très anciens. L'approche phénoménologique d'Heidegger, et même de Ricoeur, est une critique métaphysique de cette approche (la célèbre phrase d'Heidegger "les scientifiques ne pensent pas, ils raisonnent" pose le débat à son niveau d'affrontement).

La nouvelle approche retenue, révélée clairement dans votre 3eme cas (voir fin du texte précédent), est dynamique, systématiquement basée sur le calcul de processus auto-génératifs. A partir d'un ensemble générateur initial (comme l'est la cellule fécondée du vivant), on engendre un système sous des contraintes organisationnelles qui dépendent de son état courant.

C'est l'approche de Ni Dieu ni Gène, de Kupiec et Sonigo, mais au niveau du calculable et donc de l'artificiel. Elle débute et n'a pas plus de 10 ans.

Il y a des différences de granularité entre les neurones formels, les cellules et les agents. Mais il s'agit, avec ces entités, de traiter le même problème : un problème organisationnellement complexe qu'aucune équation ne peut exprimer. Aucune, jamais. Le théorème de Poincaré (19eme siècle!!!) montre bien qu'un système complexe basé sur les interactions entre éléments soit se simplifie et est équivalent à un système avec des interactions nulles, et sa trajectoire comportementale est alors déterministe et fixée par les conditions initiales, ou bien ne s'intègre pas, sauf en probabilité et parfois avec des lois terribles de non connaissabilité (le principe d'incertitude d'Heisenberg en mécanique quantique en est l'exemple le plus connu, mais on en découvrira de plus en plus d'autres).

Un tel modèle n'est donc pas équationnel a priori, mais strictement computable, basé sur des entités communicantes, évolutives, adaptatives, soumises à des contraintes organisationnelles évolutives. La technologie des ordinateurs (la programmation) permet aujourd'hui une telle approche et ceci est exceptionnel en science : un traitement calculatoire à partir de connaissances factuelles et organisationnelles permet de simuler le comportement de systèmes non connaissables mathématiquement (donc non connaissables selon les canons scientifiques classiques). La recherche porte sur l'ensemble générateur et sur les lois d'évolution du système. Le but est de modéliser tout système complexe de cette manière.

Ces recherches sont le fait de communautés fragiles, très peu nombreuses, très jeunes. Je ne doute pas que les maths feront des progrès et qu'on trouvera des espaces de phases originaux. Mais le computable sera toujours premier.

Les mathématiques qui interviennent dans cette approche de la complexité sont des mathématiques très dures : opérateurs de changement d'état stochastiques, espace fonctionnels peu intuitifs, recouvrement topologique de l'espace d'évolution, caractérisation et topologie des bassins d'attraction de l'espace de description qui est en général un espace de variétés différentiables. Elles permettent de prévoir en probabilité (c'est vraiment utile) et surtout de catégoriser la forme de l'espace comportemental du système. La catégorisation permettra de classer les systèmes complexes (la recherche est à faire). Mais elles viennent APRES la conception du modèle, qui est computable, et le codage du système, et ne déterminent pas le comportement de celui-ci mais ses singularités (ses états singuliers et stables) et sa morphologie. On peut dire que le statut des mathématiques est ici le sien strictement: c'est la science de l'existentiel, qui pose qu'un comportement existe dans un certain espace bien défini, mais qu'on ne peut pas nécessairement le calculer à l'avance.

L'informatique pose un système qui se comporte de la façon complexe et surtout comme son équivalent du monde réel: il est régi par des lois similaires, il évolue, il s'adapte à sa conformation, il a des tendances organisationnelles nouvelles, il vit artificiellement et, surtout, il change. Ces changements ne sont pas prédictibles exactement mais sont le fait de son immersion dans un certain environnement.

Ce renversement épistémologique du statut des mathématiques et de leur technologie favorite qu'est l'informatique (l'informatique en Fortran du calcul numérique) est terrible en science. Il s'agit du statut de l'informatique comme science majeure et de sa situation par rapport aux maths et à toutes les autres sciences. Il faut quand même être bon matheux pour être informaticien de ces systèmes, mais aussi être bien au courant du domaine d'application où l'on opère (biologie, sociologie, économie ..). Ce n'est plus le cas aujourd'hui où les jeunes informaticiens ne connaissent pas les maths ni les autres sciences, en ayant une formation strictement informatique : IUT ou DEUG Math-Info (où l'on peut être "presque nul" en maths pour l'avoir), licence, maîtrise, DEA, thèse en informatique... et aucun recul sur sa discipline.

Ce qui s'élabore en fait est la science des systèmes complexes (la complexité d'aujourd'hui, pas celle de Simon qui était strictement numérique), union de l'informatique et de certaines mathématiques, avec des objectifs d'explications profondes du réel dans toutes les autres sciences (par l'usage de paramétrages très fins). Un tel enjeu et un tel renversement épistémologique ne permettent pas à ceux qui le portent de se mouvoir sur une mer tranquille. La lutte est une lutte ontologique, entre l'informatique comme fondatrice de la science de la complexité et les autres sciences qui vivent actuellement sous la protection confortable du paradigme classique (les scientifiques ne sont pas des aventuriers).

Je commence personnellement à penser que cette lutte est perdue pour l'informatique (pour la science informatique), car les enjeux culturels profonds en question n'intéressent plus personne, la technologie permet de vivre tranquillement (aujourd'hui) en occident, et l'avenir parait très très loin à tout le monde. Beaucoup d'informaticiens considèrent d'ailleurs leur discipline comme définitivement technologique ou soumise aux maths. Pourquoi s'en préoccuper? Les luttes sans victoire finissent par user, sinon faire renoncer.

Je ne connais pas le livre de Wolfram, mais je pense qu'il s'inspire de l'approche que je viens de résumer. Ce serait formidable

 
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